数学故事:赌徒之学

17世纪时,法国有一个很有名的赌徒,名字叫默勒。 一天,这个老赌徒遇上了一件麻烦事,使他伤透了脑筋。

这天,默勒和一个侍卫官赌掷骰子,两人都下了30枚金币的赌注。 如果默勒先掷出3次6点,默勒就可以赢得60枚金币;如果侍卫官先掷出3次4点,这60枚金币就归侍卫官赢走。 可是,正当默勒掷出2次6点,而侍卫官只掷出了1次4点时,意外的事情发生了。 侍卫官接到通知,必须马上回去陪国王接见外宾。

赌博无法继续下去了。 那么,如何分配两人下的赌注呢?

默勒说:“我只要再掷出1次6点,就可以赢得全部金币,而你要掷出2次4点,才能赢得这么多金币。 所以,我应该得到全部金币的3/4,也就是45枚金币。 ”

侍卫官不同意这种说法,反驳说:“假如继续赌下去,我要2次好机会才能取胜,而你只要一次就够了,是2∶1。 所以,你只能取走全部金币的2/3,也就是40枚金币。 ”

两人争论不休,结果谁也说服不了谁。

事后,默勒越想越觉得自己的分法是公平合理的,可就是说不出为什么公平合理的道理来。 于是,他写了一封信向法国著名数学家帕斯卡请教:

“两个赌徒规定谁先赢s局就算赢了。 如果一人赢了a(a<S)局,另一人赢了b(b<s)局时,赌博中止了。 应该怎样分配赌本才算公平合理?”

这个问题有趣得很。 如果以两人已赢的局数作比例来分配他们的赌本,两人都将不服气,准会抢着嚷道:“假如继续赌下去,也许我的运气特别好,接下来全归我赢。 ”然而,假如继续赌下去,谁又能预先确定一定归谁赢呢?即使是接下去的每一局,谁又能预先断定一定归谁赢呢?

帕斯卡对这个问题很有兴趣,他把这个题目连同他的解法,寄给了著名法国数学家费尔马。 不久,费尔马在回信中又给出了另一种解法。 他们两人不断通信,深入探讨这类问题,逐渐摸清了一些初步规律。

费尔马曾经计算了这样一个问题:“如果甲只差2局就获胜,乙只差3局就获胜时,赌博中止了,应如何分配赌本?”

费尔马想:假如继续赌下去,不论是甲胜还是乙胜,最多只要4局就可以决定胜负。 于是他逐一列出这4局时可能出现的各种情况,发现一共只有16种。 如果用a表示甲赢,用b表示乙赢,这16种可能出现的情况是:

aaaa aaab aaba aabb

abaa abab abba abbb

baaa baab baba babb

bbaa bbab bbba bbbb

在每4局,如果a出现2次或多于2次,则甲获胜。 这类情况有11种;如果b出现3次或多于3次,则乙获胜,这类情况有5种。 所以,费尔马算出了答案:赌本应当按11∶5的比例分配。

根据同样的算法,读者不难得出结论:在默勒那次中止了的赌博中,他提出的分法确实是合理的。

帕斯卡给费尔马的信,写于1654年7月29日,这是一个值得记住的日子。 因为他们两人的通信,奠定了一门数学分支的基础,这门数学分支叫做概率论。

由于概率论与赌徒的这段渊源,常有人讥笑它为“赌徒之学”。

概率论主要研究隐藏在“偶然”现象中的数量规律。 抛掷一枚硬币,落地时可能是正面朝上,也可以是背面朝上,谁也无法预先确定到底是哪一面朝上。 它的结果纯粹是偶然的。 连续地将一枚硬币抛掷50次,偶然也会出现次次都是正面朝上的情形。 但是,如果继续不停地将硬币抛掷下去,这个“偶然”的现象便会呈现出一种明显的规律性。 有人将硬币抛掷4040次,结果正面朝上占2048次;有人抛掷12000次,结果正面朝上占6019次;有人抛掷3万次,结果正面朝上占14998次。 正面和背面朝上的机会各占1/2,抛掷硬币的次数越多,这种规律性就越明显。

概率论正是以这种规律作依据,对在个别场合下结果是不确定的现象,作出确定的结论。 例如,将一枚硬币抛掷50次,概率论的结论是:出现25次正面朝上的机会是1/2。 而次次出现下面朝上的机会是多少呢?假如有一座100万人的城市,全城人每天抛掷8小时,每分钟抛掷10次,那么,一般需要700多年,这座城市才会出现一回这样的情形。

 

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