古印度有个国王,非常爱玩,有一次下令在全国张贴招贤榜:如果谁能替国王找到奇妙的游戏,将给予重赏。
一个术士揭了招贤榜。 他发明了一种棋,使国王玩得舍不得放手。 国王高兴地问术士道:“你对本王的赏赐要求些什么?”术士赶忙拜倒:“大王陛下在上,小小术士没有特殊的要求,只请大王在那棋盘的第一个格子里放下一粒米,在第二个格子里放下两粒米,在第三个格子里放下4粒米,然后在以后的每一个格子里都放进比前一个格子多一倍的米,64个格子放满了,也就是我要求的奖赏了。 ”国王一听,这点米算什么,就一口答应了。 可是,当找来算师一五一十地算了以后,使国王大吃一惊,原来这些米可以覆盖全地球,全世界要几百年才能生产出来,根本无法赏给这位术士。
为什么这个棋盘里的米会有这么多呢?
让我们算一算看:
第一个格子里是1粒,第二个格子里是2粒,一共有3粒,或者,等于:
2×2-1=3。
加上第三个格子的4粒,一共是7粒,即
2×2×2-1=7
再加上第四个格子的8粒,共有15粒,即
也等于:
2×2×2×2-1=15。
24-1=15
所以,从第一格到第四格的米粒数就等于2的4次乘方减去1。 那么,从第1格到第64格的米粒数,将等于2的64次乘方减去1,即:
为什么这个数字会这么惊人呢?原来这个术士聪明地运用了数学上的几何级数,那是把2作为基本倍数,棋盘上的格数作为这个基本倍数的乘方,即2的n次方。 棋盘上一共有64格,n就等于64,但是要减去第一格上那一粒米的数值,即264-1;然后再除以基本倍数减去第一格上数值的差,即2-1。 这样,
看来,一粒米、两粒米这个数目很小,算不得什么,可是,用几何级数一算,却成为一个不可想象的巨大数字。 愚蠢的国王怎能领会几何级数的奥妙呢。