神秘的山洞你能想象得到的最大数是几呢？是无穷大吗？嗯，抱歉，无穷大不可能是最大的数，因为无穷大并不是一个数，而是一个量，一种数增大的趋势。 事实上，数学上定义了多种无穷大，它们之间还可以相互比较大小。
对于无穷大，我们每个人心中都有一个界定。 我们用“无尽”“无数”和“无限”等词来描述无穷。 粗看起来这些词都用得很合适，但是其实这些词本来就表述不同的含义，它们仅描述了某些无穷大的意义，而不能表达另一些。 实际上无穷大是一个很奇特的概念。
关于无穷大的一个游戏
通过想象一个无穷次才能完成的游戏，我们可以感受一些无穷大的含义。 首先准备一个足够存放无穷多小球的大桶，设想我们真的有无穷多的球，每个球上还标记着数字，从1开始到无穷大。 第一步，把前10个球（即标号为1至10的球）放入桶中，再取出1号球。 第二步，把标号为11至20的10个球放入桶中，再取出2号球。 持续这个过程，第n步把标号为10（n-1）+1， 10（n-1）+2，…，10（n-1）+10的10个球放入桶中，再取出第n号球——第三步取出3号球，第四步取出4号球，一直进行下去。 无穷步后，最终桶里还剩下什么呢？有无穷多个球？还是根本就没有球了？实际上，此时桶里空无一球。 虽然这个过程中放入球的速度远远快于取出球的速度，但是无穷次放入球的同时，我们也同样无穷次地取出球。 因此，球桶最终被取空。
有限的时间
显然，上面的游戏并不具有可操作性，因为它需要耗费无限的时间。 不过，我们可以想象一个1分钟内（或其他时间限制内）完成的关于无穷大的游戏。 准备一盏灯和一个开关，计时开始时，我们摁动开关打开灯。 半分钟后，我们再次摁下开关熄灭灯。 1/4分钟后，再次开灯。 持续这种操作，只是把每次开关灯的时间间隔减半，接下来，1/8分钟，1/16分钟……我们可以把剩下的时间无限细分。 无穷次操作意味着开关灯动作永不停歇：每次开灯动作后会跟着一个关灯动作，反之亦然。 但是，因为时间有限，最终时间一到，所有动作就要停下来。 那么，最后的时刻灯是打开着还是熄灭了呢？我们无从知晓。
芝诺悖论
芝诺最著名的悖论之一是“阿喀琉斯跑不过乌龟”。 阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的赛跑时，他让乌龟在其前方100米起跑。 当乌龟向前跑了一段距离后，阿喀琉斯很快就追过来了，但是，同时，乌龟也已经又前行了新的一段距离。 于是，阿喀琉斯不断地追到乌龟之前的位置，同时乌龟已经向前一段距离，又到了新的位置。 阿喀琉斯不断地追赶，越来越靠近乌龟，但是他和乌龟之间总存在一段距离。
古代谜题
人们很早就意识到了无穷大的神奇。 古希腊数学家们总是试图去避开无穷大，他们认为一条直线可以无限长，但是，无法达到。 然而，生活在2500年前古希腊的哲学家芝诺提出了一系列有关无穷大的悖论——最著名的悖论之一，如第153页方框中所示——至此，当时数学家们对无穷大的最初设定被击溃了。
真理浮现
悖论是一种看似自相矛盾的命题。 如果假设命题成立，就能推导出命题为假，反之亦然。 芝诺的大部分悖论可以总结为二分问题：一个物体要到达1千米处，它必须先经过0.5千米处，而它要到达0.5千米处，不得不先经过1/4千米的位置……按照这个思路，你会发现，我们走到终点（1千米远处）需要无限多步。 而我们只有有限的生命，如何完成这无限多步呢？芝诺认为真实的运动不存在，一切变化都是幻象。 当时其他人认为宇宙是由不可再分的元素构成的，他们称这些元素为原子。 原子的不可再分性保证了人只要每次走一个原子的宽度，就能有限次走完，虽然这个数过于庞大。 多年后，科学家确实验证了世界万物是由原子构成的。 现代物理也发现原子并不是最微小的物质，不过，同时也发现时空均有下限，不能任意细分。 当然，数学和数字可以超脱于真实世界之外存在，并没有数字“原子”不能被细分。 事实上，任何数，无论多小，都可以被减半。
关于无穷大的计算
17世纪时，数学家们关注于如何一个一个地数清楚所有的数。 比如从1数到2，中间有无数多个分数，怎样才能不多不少一个接一个地数出来呢？他们发现，想要数清楚，必然需要寻找一种方式处理无穷大。 1665年，英国数学家约翰·沃利斯定义了无穷大的符号，即∞（他也给出了定义数轴的想法）。 无穷大的符号是一根双纽线，即一个圈扭转一边，使中间自交的图形，进而这个图形无起点也无终点，恰与无穷大性质相同。
无穷和
无穷大符号∞可以用于简单的加减乘运算，但是却有别于一般的数：1+∞=∞， 10×∞=∞，以及(±∞)+(±∞)=±∞。 这些式子意义明显，但是1/∞有相应的计算吗？沃利斯和其他数学家，如艾萨克·牛顿和戈特弗里德·莱布尼茨，开始着手研究两个整数之间的无穷多个分数之和，如0与2之间的。 比方说， 1+1/2+1/4+1/8+1/16+…，即2的所有自然数幂的倒数之和。 这个无穷和应该为2。 为何呢？我们并不能直接对无穷多个分数一步一步求和验证猜测。 接下来的两个世纪中，许多数学家提出了验证方法，以证明这些逐项等比例递减的分数，如果存在无穷和，其和必为2。 但是，无论是2还是和式中的所有分数都是有理数，而人们早已知道无理数远远多于有理数，且无理数不能写成分数形式（见第40页的方框）。 大多数无理数还是超越数，即不遵循某些数学性质。 那么，我们该如何去算这些数的无穷项之和呢？
感受无穷大
在今天，微积分业已成为“艰深晦涩”的代名词。 人们以数年对大量数学基本知识的学习掌握为前提，才有可能对微积分理论有一定的认识。 微积分理论建立的目的是研究变量的性质。 它把那些变量转化为一个无穷级数，前后项只相差一个无穷小量。 微积分可以为复杂现象建立数学模型来进行研究，比如海浪模型。
数集合
解决上面问题的一种方式是把实数集合按性质分割成小集合。 这方面工作的领军人物是德国数学家格奥尔格·康托尔。 19世纪70年代，康托尔开创性地提出不同无穷集合的基数可以不同，无穷大与无穷大之间也有大小区别，这些想法颠覆了一直以来人们对无穷大这个概念的认识。 这些想法看似奇特，但是现已被数学家们一致认可。 而在康托尔生活的那个年代，许多同事嘲笑他，认为他的工作是毫无意义的。 康托尔因为这些讥讽对立，精神上屡受刺激，患上了严重的精神疾病和抑郁症，所以，他晚年的大部分时间是在医院里度过的。 直到20世纪早期，他已是迟暮之年，孤独且穷困潦倒，数学界才真正意识到他的工作的划时代意义。
可数无穷大
最简单的无穷数集合是可以把元素一个一个按顺序数出来的，比如正整数集合：从1开始，然后是2，3，4，…，每次加1往下数，无限持续下去。 康托尔把这种集合的基数定义为可数无穷大。 这种集合亦称为可列无穷集，这个名称可能更为合适，因为人们可以罗列无穷多个数，却不能真的一个一个数完所有无穷个数。 偶数集合、奇数集合和平方数集合等都是可数无穷集合。 人们也许直觉认为这些集合都是自然数集合的真子集，所以基数应该更小。 如偶数集合只有自然数集合中一半的元素。 但是，这些集合都是无穷数集合，它们都能与自然数集合建立一一对应关系，进而，能一个一个按顺序罗列出来。
负向扩充
非零自然数均为正值，可以认为是沿着数轴正半轴往右，逐项递增地趋于正无穷大。 添上0，沿着数轴往左，自然数的相反数以逐项减1的方式递减地趋于负无穷大。 这些非零自然数与它们的相反数以及0构成整个整数集合。 整数集合也是可列无穷集。 整数集合比非零自然数集合似乎多了一倍的元素，但其实它们有相同的基数。
无穷基数
数学上，一个集合的基数是指其含有的元素的个数。 因此，在《白雪公主》故事中小矮人构成的集合的基数为7，《101斑点狗》故事中斑点狗构成的集合的基数为101。 同样，一个无穷集合的基数为无穷大。 但是，人们发现有些无穷大要大于其他的无穷大。 为了阐述清楚这种区别，康托尔运用希伯来语阿列夫（ℵ），引入了一套无穷基数概念。 可列无穷集具有最小的无穷基数，如整数集合，基数为阿列夫零（ℵ）。 不可列集，如实数集合，基数为阿列夫1（ℵ1）。
有理数集合
整数集合是有理数集合的真子集。 非整数的有理数是分数。 当然，分数集合也是无穷集合。 但分数集合也能如整数集合那样一个一个元素按顺序罗列吗？分数是由两个整数进行除法运算得到的，因此，只要分别按分母和分子排序，走一条特殊路径即可：从1/2开始，然后是1/3，1/4， 1/5，…，所有分子是1的分数按分母逐项增大排列；第二行从2/1开始，然后是2/2，2/3，2/4，…，所有分子是2的分数按分母逐项递增依序排列；按照这种方式康托尔可以把所有有理数排成一个无穷行、无穷列的矩阵。 沿着简单的Z字形对角线路径，康托尔向大家展示了罗列所有有理数的一种方式，这种方式被后人称为康托尔的“对角线论证”。
希尔伯特的旅馆
大卫·希尔伯特是德国著名的数学家。 他曾问学生一个问题：设想一个旅馆有无穷多个房间，某个忙碌的夜晚，旅馆住满了客人，翌日，又有无穷多个新客人造访，这时，柜台该怎么做呢？旅馆不想放弃这份不菲的收入，可是已客满。 希尔伯特想以这个例子说明无穷大并不是真正的数。 他可以轻松解决柜台的难题，只要让所有原来的客人都搬到房号为旧房间号乘以2的新房间，就能空出所有奇数房号的房间，进而让新客人入住。
不可列集
有理数集合是可列集，与整数集合同基数。 即使如此，两个整数之间的所有分数，如1与2之间的分数，就已经构成一个可列集。 换言之，1与2之间有整数那么多的分数。 接下来考虑无理数，情况更为复杂。 无理数，如和π，虽亦坐落在数轴上藏于有理数之间，但无法如有理数一般写清楚每一位数码，因此，无理数并不能按顺序一个一个罗列完整。 所以，有理数和无理数的并集，即实数集合，是不可数的，或称为不可列的。 康托尔认为不可列集的基数要严格大于可列集的基数。 不可列集中含有远远多于可列集的元素。 对于两个可列集，可以在两者之间建立一一对应关系：两者的第一个元素相互对应，第二个元素相互对应，第三个元素相互对应……按这个原则把两个集合的所有元素对应起来。 这种方式却不适用于不可列集之间。 无穷集合使得你每取完一个数，剩下的数仍然构成一个无穷集合。
