映射式还原经典案例：非欧几何向欧氏几何的还原

映射式还原的典型案例在数学上是非欧几何向欧氏几何的还原。

欧氏几何第五公理的证明是一个持续了 2000 年的数学难题，无数的尝试都失败了。俄国数学家尼古拉斯·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基（Никола йИва новичЛобаче вский，英文Nikolas lvanovich-Lobachevsky，1792.12.1—1856.2.24）在解决这个难题过程中，创造性地设想出了用反证法来解决这个难题。这种反证法的基本思想是，为证明“第五公理不可证”，首先对第五公理加以否定，然后用这个否定命题和其他公理公设组成新的公理体系，并由此展开逻辑推演。

假设第五公理是可证的，即第五公理可由其他公理推演出来，那么，在新公理系统的推演过程中一定会出现逻辑矛盾，至少第五公理和它的否定命题就是一对逻辑矛盾；反之，如果推演不出矛盾，就反驳了“第五公理可证”这一假设，从而也就间接证得“第五公理不可证”。依照这个逻辑思路，罗巴切夫斯基对第五公理的等价命题——普列菲尔公理“过平面上直线外一点，只能引一条直线与已知直线不相交”做出否定，得到否定命题“过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交”，并用这个否命题和其他公理组成新的公理系统展开逻辑推演。

在推演过程中，他得到一连串古怪、非常不合乎常理的命题。但是，经过仔细审查，却没有发现它们之间存在任何逻辑矛盾。于是，远见卓识的罗巴切夫斯基大胆断言，这个“在结果中并不存在任何矛盾”的新公理系统可构成一种新的几何，它的逻辑完整性和严密性可以和欧几里得几何相媲美。而这个无矛盾的新几何的存在，就是对第五公理可证性的反驳，也就是对第五公理不可证性的逻辑证明。

1.26年2月23日，罗巴切夫斯基在喀山大学物理数学系学术会议上宣读了他的第一篇关于非欧几何的论文——《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》。这篇首创性论文的问世，标志着非欧几何的诞生。但是，由于罗巴切夫斯基几何的命题与常识差异太远，人们无法理解。因此，不仅它出现后受到冷漠，而且罗巴切夫斯基个人也受到大量批评甚至人身攻击，其职业生涯也因此受到巨大影响。同时期的大数学家高斯事实上也私下发现了非欧几何，并对罗巴切夫斯基私下非常赞赏，但却一直不敢给罗巴切夫斯基公开支持。因此，即使经过了30多年，直到1856年2月12日罗巴切夫斯基逝世，非欧几何也未得到数学界认可。直到非欧几何向欧氏几何的还原工作完成，非欧几何才得到数学界的理解和认可。

1.68年，意大利数学家E.贝特拉米（Eugenio Beltrami，1835.11.16—1900.2.18）发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧氏空间的曲面上实现。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧氏几何命题，如果欧氏几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。

今天，我们或许会为当年人们没有立即接受罗巴切夫斯基的非欧几何学而对其有所批评，但我们不能仅仅如此简单地、有些马后炮式地去看待科学发展的历史。仅仅简单地指责当时的数学界思想保守和观念陈旧是没有用的，如果我们自己身处当时的历史条件下能做得更好吗？连大数学家高斯在已经独立做出非欧几何发现之后，也不敢公开支持罗巴切夫斯基的发现，以“胆量”和“勇气”不够对其评价是过于简单的。

罗巴切夫斯基几何现在广为接受的还原方法，是意大利数学家贝特拉米把罗氏几何空间还原为欧氏几何的马鞍形空间。而把黎曼几何空间还原为欧氏几何立体的椭圆球面空间，也有效还原了黎曼几何。