大数学家的墓志铭,想看懂得先列个方程

古往今来,大概只有数学家的墓志铭最为言简意赅。 他们的墓碑上往往只是刻着一个图形或写着一个数,但这些形和数,却代表了他们一生的执着追求和闪光的业绩。

古希腊数学家,阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱,圆柱里内切着一个球,这个球的直径恰与圆柱的高相等。

这个图形表达了阿基米德的如下发现:球的体积和表面积都等于它外接圆柱体体积和表面积的2/3。 由此容易推得一个半径为R的球体的体积V和表面积S的公式:

1610年,荷兰人鲁道夫范·科伊伦·(LudolphvanCeulen,1540—1610)把π算到了小数点后面35位,这是当时的世界纪录。 他感到自己不虚此生,于是留下遗言,要后人把 π的35位小数刻在他的墓碑上。

17世纪瑞士的著名数学家雅各·伯努利(JacobBernoulli,1654—1705),在数学的许多分支都有过重要的贡献,尤其醉心于对数螺线的美妙性质。 他在临终前特地叮嘱,要求将一正一反的两条对数螺线刻在他的墓碑上,并附以简洁而又含义双关的墓志铭:“我虽然变了,但却和原来一样!”

在众多数学家的墓志铭中,被誉为 “代数学鼻祖”的丢番图的墓志铭,可算是一个例外。

丢番图 (Diophantus, 246—330)是3世纪亚历山大里亚城人,他的名著《算术》对后世影响极大,是一部可与欧几里得(Euclid,约公元前330—前275)的《几何原本》相媲美的代数学的最早论著。

丢番图 雕像

丢番图的墓碑文是很奇特的,用一种未知的方式写出了已知的一生:

过路人!这儿埋着丢番图的骨灰,下面的数字可以告诉你 他活了多少岁。

他生命的1/6是幸福的童年。

再活1/12,颊上长出了细细的胡须。

又过了生命的1/7他才结婚。

再过了5年他感到很幸福,得了一个儿子。

可是这孩子光辉灿烂的生命只有他父亲的一半。

儿子死后,老人在悲痛中活了4年,结束了尘世生涯。

请问:丢番图活了多少岁? 几岁结婚,几岁生孩子?

这段散发着代数芳香的碑文,是历史留给后人关于这位学者生平的唯一信息

根据这一信息我们可以列出方程:

解得x=84。 即丢番图享年84岁,他33岁结婚,38岁得子。

尽管人们对丢番图的生平知之不多,但对他的学术造诣却颇为了解。 尤其丢番图关于二次不定方程的巧妙解答,更使后人叹为观止。

下面讲的勾股数组便是其中一例。

大家知道,我国是世界上最早发现勾股定理的国家。 早在公元前1100年,我国劳动人民就已掌握了勾三、股四、弦五的规律,在两千年前成书的《周髀算经》中,记载了那时周公与商高的一段有趣对话。 书中还有一张勾股定理证明图叫“弦图”。

弦图

勾股定理的一般表述是:假设x、y 是一个直角三角形的两条直角边长,z是斜边长,那么这3个数必须满足:

西方最早发现这个定理的,是古希腊的毕达哥拉斯 (Pythagoras,约公元前580—前500)。 他除证明以外,还找到 了如下求勾股数组的式子:

后来另一个古希腊著名学者柏拉图(Plato,公元前427—前 347)也给出了类似的式子。

丢番图发现,无论是毕达哥拉斯还是柏拉图的式子,都没能给出全部勾股数组,例如8、15、17就不在毕达哥拉斯的式子中。 于是丢番图致力于寻求构造勾股数的一般法则。 丢番图找到的这种法则是:若a、b 是两个正整数,且2ab 是完全平方,则

是一组勾股数。 丢番图究竟怎样找到这些式子,我们今天无从得知,但读者 完全可以验证它们满足方程

用丢番图的方法,我们可以得到最前面的几组勾股数。

丢番图的功绩在于,他所找到的式子包含了全部的勾股数组。 值得一提的是,与丢番图同时代的我国魏晋时期数学家刘徽,用几何的方法找到了以下求勾股数组的公式:

这一结论载于263年刘徽对一部古籍算书的注释本中。 这是迄今为止人们对于勾股数组的最为完美的表示之一。 久远的年代,往往使事件笼罩上一层神秘的色彩。

1945年,人们惊奇地发现了一份古巴比伦人的数学手稿。 据考证,其年代远在 商高和毕达哥拉斯之前,大约在公元前1900—1600年。 手稿中令人难以置信地列出了以下15组勾股数。

表中的许多勾股数具有很大的数字,这些数即使在今天也不是人人都很熟悉。

天晓得古巴比伦人当时是怎样得到这些数的!如果考古学家坚信自己没有对历史年代判断错的话,那么上面的史实表明:在世界的其他地方还不知道3、4、5的关系的时候,古巴比伦人已经有了相当灿烂的文化。 这无疑给人类早期的文明史,又增添了一个千古之谜!

来源:《给孩子的数学故事书》

作者:张远南 张昶

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