为什么在讨论导数的几何意义时

自从导数进入高中数学课本以来，它就成为了高中数学研究函数的重要工具，也是学习高等数学的基础。

要想学好微积分，首先就要学好导数，因为导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。 很多人不知道，微积分的创立可以说是数学发展过程中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。

因此，无论是高中数学学习，还是将来大学时期高等数学的学习，都要求很多人必须学好导数这一块内容。

纵观近几年高考数学试卷，导数的几何意义是导数的重要考点之一，常常和其他知识综合在一起进行考查。

典型例题分析1：

已知函数f(x)＝x－2/x，g(x)＝a(2－ln x)(a>0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．

解：根据题意有

曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，

曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a.

所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.

曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)，

得：y＋1＝3(x－1)，

即切线方程为3x－y－4＝0.

曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)．

得y＋6＝3(x－1)，

即切线方程为3x－y－9＝0，

所以，两条切线不是同一条直线．

导数的几何意义伴随着导数进入高中数学教材后，给函数图象及性质的研究开辟了一条新的途径。 我们知道，函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是:曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k等于f′(x0)。

利用导数的几何意义，可以用来求解曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率、切点、切线方程、参数等问题。

把握导数几何意义的常用类型问题，对于学生学好导数有着极其重要的意义。

典型例题分析2：

设函数f(x)＝axn(1－x)＋b(x>0)，n为正整数，a，b为常数．曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x＋y＝1.

(1)求a，b的值；

(2)求函数f(x)的最大值．



应用导数的几何意义这一新工具，为分析和解决问题提供了新的视角、新的方法，与传统的方法相比，简洁明快，具有明显优势。 导数的几何意义内容与函数、数列、解析几何等结合起来，问题的设计便更加广阔。

高考中对导数的概念及其几何意义的考查较简单，主要考查导数的几何意义。

典型例题分析3：

设函数f(x)＝ax－b/x，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.

(1)求f(x)的解析式；

(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．





函数Y=f（z）在点x0处的导数的几何意义就是曲线Y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率。 导数的几何意义把函数的导数与曲线的切线联系在一起，使导数成为函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体。

因此，用导数解决与切线有关的问题将是高考命题的一个热点。